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Questão FC261899

Uma empresa implementou um novo sistema informático, e o cadastro dos colaboradores foi feito segundo o cronograma a seguir: no primeiro dia, foi cadastrado 1 colaborador; no segun

Progressão Geométrica

IDECAN · 2018

Uma empresa implementou um novo sistema informático, e o cadastro dos colaboradores foi feito segundo o cronograma a seguir: no primeiro dia, foi cadastrado 1 colaborador; no segundo dia, foram cadastrados 3 colaboradores; no terceiro dia, foram cadastrados 9 colaboradores; no quarto dia, foram cadastrados 27 colaboradores; e, assim, sucessivamente, até o dia em que fossem cadastrados 243 colaboradores. Depois desse dia, os cadastros recomeçariam seguindo o mesmo cronograma, até novamente o dia em que se cadastrassem novamente 243 colaboradores: (1, 3, 9, 27, ..., 243). Sabe-se que, em 30 dias de trabalho, concluiu-se o cadastro de todos os colaboradores. Qual foi o número de colaboradores cadastrados?

  1. 1200.
  2. 1215.
  3. 1800.
  4. 1820.
  5. 2000.
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Gabarito

D

Comentário do professor

A sequência dos cadastros é dada pelas potências de 3: \(1,3,9,27,\ldots,243\), ou seja, \(a_k=3^{k-1}\). Trata‑se de uma progressão geométrica de razão 3.

O termo \(243\) é \(3^5\), portanto cada ciclo completo contém os termos \(3^0\) até \(3^5\), isto é, 6 dias.

A soma de um ciclo é a soma geométrica \(S=\sum_{i=0}^{5}3^i=\frac{3^6-1}{3-1}=\frac{729-1}{2}=364\).
Logo, em cada ciclo são cadastrados 364 colaboradores.

Trabalhando 30 dias obtemos \(30/6=5\) ciclos completos. Assim o total cadastrado é \(5\times364=1820\).

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