Qual o valor do 14º termo da sequência a seguir sabendo que ela é uma p.g. crescente?

Gabarito

D

Comentário do professor

Para obter a razão da progressão, igualamos as razões entre termos consecutivos: \( \frac{3x+2}{2x-2}=\frac{16x}{3x+2}\).

Isso conduz à equação quadrática \(23x^2-44x-4=0\). Aplicando a fórmula de Bhaskara encontra-se \(\sqrt{\Delta}=48\) e hence \(x=\frac{22\pm24}{23}\).

As raízes são \(x=2\) e \(x=-\frac{2}{23}\). Como a PG é crescente precisamos de \(q>1\), portanto adotamos \(x=2\).

Com \(x=2\) temos \(a_1=2x-2=2\) e \(a_2=3x+2=8\), logo a razão \(q=\frac{8}{2}=4\).

O 14^o termo é \(a_{14}=a_1\,q^{13}=2\cdot4^{13}\).

Como \(4^{13}=(2^2)^{13}=2^{26}\), segue \(a_{14}=2\cdot2^{26}=2^{27}\).