Questão FC261927
Quais os pontos intersectam os gráficos de f e g, definida pela função \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), tal que g(x) = 1?
Funções e Inequações
IDECAN · 2022
Seja a representação gráfica da função quadrática definida por \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\):
Quais os pontos intersectam os gráficos de f e g, definida pela função \(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), tal que g(x) = 1?
- \((1,\frac{-1-\sqrt{5}}{2})\,\, e \,\, (1, \frac{-1+\sqrt{5}}{2})\)
- \((\frac{1-\sqrt{5}}{2},1)\,\, e \,\, (\frac{1+\sqrt{5}}{2},1)\)
- \((\frac{-1-\sqrt{5}}{2},2)\,\, e \,\, (\frac{-1+\sqrt{5}}{2},2)\)
- \((\frac{-1-\sqrt{5}}{2},1)\,\, e \,\, (\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1)\)
- \((-2,0) \,\, e \,\, (1,0)\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
Do gráfico obtemos o coeficiente linear: o ponto \((0,2)\) indica c = 2, então \(f(x)=ax^2+bx+2\).
As interseções com o eixo Ox ocorrem em \(x=-2\) e \(x=1\), portanto \(f(-2)=0\) e \(f(1)=0\).
Substituindo: \(4a-2b+2=0\) e \(a+b+2=0\). Da primeira vem \(2a-b=-1\) ou \(b=2a+1\). Inserindo na segunda: \(a+(2a+1)+2=0\), então \(a=-1\).
Com \(a=-1\) obtemos \(b=-1\) e, portanto, \(f(x)=-x^2-x+2\).
Para encontrar as interseções com \(g(x)=1\) igualamos: \(-x^2-x+2=1\Rightarrow -x^2-x+1=0\Rightarrow x^2+x-1=0\). Pela fórmula quadrática,
\(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\), logo os pontos são \(\left(\dfrac{-1-\sqrt5}{2},1\right)\) e \(\left(\dfrac{-1+\sqrt5}{2},1\right)\).
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