Seja a função \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), tal que \(f(1)=0 \forall x, y \in \mathbb{R}, f(x+y+2)=f(x).d(y)-f(y)-x+3\); então, f(\(x\)) está expressa na alternativa

Gabarito

A

Comentário do professor

Comece usando a condição inicial: f(1)=0.

Substituindo \(x=1\) na relação dada vem \(f(1+y+2)=f(1)f(y)-f(y)-1+3\). Como \(f(1)=0\), obtemos \(f(y+3)=-f(y)+2\).

Agora substitua \(y=1\) na relação original: \(f(x+1+2)=f(x)f(1)-f(1)-x+3\). Novamente com \(f(1)=0\), resulta \(f(x+3)=-x+3\).

Iguais as duas expressões para \(f(\cdot+3)\) (válidas para todo \(x\)): \(-f(x)+2=-x+3\).

Isolando \(f(x)\) obtém-se \(f(x)=x-1\). Verifique que isso satisfaz \(f(1)=0\) e a equação funcional, confirmando a alternativa correta: \(x-1\).