A observação periódica de um fenômeno sugeriu uma sequência definida por \(f(n) = \begin{cases} \quad x_1 = 12 \\ x_{n+1} = 5x_n + 2 ⋅ 5^n \end{cases}\) onde o índice \(i\) de \(x_

Gabarito

A

Comentário do professor

A sequência é dada pela recorrência \(x_{n+1}=5x_n+2\cdot5^n\) com \(x_1=12\). Ao desenvolver os primeiros termos e fatorar potências de 5 percebe-se o padrão:

\(x_2=5(x_1+2\cdot5^0),\quad x_3=5^2(x_1+4),\quad x_4=5^3(x_1+6)\).

Isso sugere — e pode ser provado por indução — a fórmula fechada \(x_{n+1}=5^n(x_1+2n)\). Substituindo \(n=619\) para obter \(x_{620}\):

\(x_{620}=5^{619}(12+2\cdot619)=5^{619}\cdot1250=5^{619}\cdot5^3\cdot10=10\cdot5^{622}.\)

Portanto, o valor da observação 620 é 10 ⋅ 5^{622}.