O valor da expressão trigonométrica \(\mathsf{Z}=\large{\mathsf{senx~+~cotg~x \over cossecx~\centerdot~tgx}}\), sabendo que \(\mathsf{sen~x}=-\large{\sqrt{3}\over2}\) e que x perte

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos simplificando: cotg=\( \frac{\cos x}{\sen x}\), tg=\( \frac{\sen x}{\cos x}\) e cossec=\( \frac{1}{\sen x}\). Assim o denominador é \( \frac{1}{\sen x}\cdot\frac{\sen x}{\cos x}=\frac{1}{\cos x}\), logo

\( \mathsf{Z}=\frac{\sen x+\frac{\cos x}{\sen x}}{1/\cos x}=\cos x\!\left(\sen x+\frac{\cos x}{\sen x}\right)=\frac{\cos x\,( \sen^2 x+\cos x)}{\sen x}\).

Com \( \sen x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) e \(x\) no 3.º quadrante, temos \( \cos x=-\frac{1}{2}\). Então \( \sen^2 x=\tfrac34\) e \( \sen^2 x+\cos x=\tfrac14\).

Substituindo: \( \mathsf{Z}= \frac{-\tfrac12\cdot\tfrac14}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{12}\).

Portanto o valor correto é \( \frac{\sqrt{3}}{12}\), diferente do gabarito apontado \( -\frac{\sqrt{3}}{3}\); há incoerência que recomenda retificação.