Questão FC261960
qual é a matriz de decodificação D que o destinatário deverá usar para ler a mensagem?
Matrizes
IDECAN · 2017
A criptografia é uma das formas mais seguras de envio de mensagens secretas a um destinatário específico. Uma das maneiras de se criptografar uma mensagem é usar as propriedades das operações com matrizes. A ideia de um dos métodos é identificar cada letra do alfabeto com um determinado número e escrever a mensagem na forma de uma matriz. O remetente codifica essa matriz de mensagem usando uma matriz de codificação, enquanto o destinatário consegue ler a mensagem usando uma matriz de decodificação. Isso só é possível pois as matrizes de codificação e decodificação são inversas uma da outra. Ou seja D * C = C * D = I, onde C e D são as matrizes de codificação e decodificação, respectivamente, e I é a matriz identidade. Se o remetente codifica uma mensagem com a seguinte matriz de codificação
\(C = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\)
qual é a matriz de decodificação D que o destinatário deverá usar para ler a mensagem?
- \(D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\)
- \(D = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}\)
- \(D = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\3 & -4 \end{pmatrix}\)
- \(D = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\6 & 5 \end{pmatrix}\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Para obter a matriz de decodificação precisamos achar a inversa de \(C=\begin{pmatrix}4&3\\3&2\end{pmatrix}\).
Calcule o determinante: \(\det C=4\cdot2-3\cdot3=8-9=-1\).
Na fórmula da inversa de uma matriz 2×2, trocam-se os elementos da diagonal principal e invertem-se os sinais da diagonal secundária, obtendo a matriz adjunta: \(\begin{pmatrix}2&-3\\-3&4\end{pmatrix}\).
Multiplicando cada entrada por \(1/\det C=1/(-1)=-1\), vem
\(C^{-1}=D=-1\cdot\begin{pmatrix}2&-3\\-3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&3\\3&-4\end{pmatrix}.\)
Uma verificação rápida: \(C\cdot D=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\), confirmando que \(D\) é a matriz de decodificação.
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