Seja \(A\begin{pmatrix} 1&2&7\\0&3&1\\0&5&2\end{pmatrix}\) e seja \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1&31&-19\\0&2&-1\\0&-5&3\end{pmatrix}\). Determine o valor de det(\(A.A^{-1})\) e assin

Gabarito

B

Comentário do professor

A alternativa B está correta porque usamos propriedades básicas dos determinantes.

Sabendo que \(A^{-1}\) é a inversa de \(A\), tem-se \(A\cdot A^{-1}=I\), onde I é a matriz identidade.

Aplicando a propriedade \( \det(AB)=\det(A)\det(B)\), obtemos \( \det(A\cdot A^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})\).

Como \(A^{-1}\) é a inversa, vale \( \det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\). Logo \( \det(A)\det(A^{-1})=1\).

Alternativamente, \( \det(A\cdot A^{-1})=\det(I)\) e o determinante da identidade é \(1\). Portanto, o valor pedido é \(1\).