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Questão FC261964

Seja A3×3 uma matriz que pode ser decomposta como o produto de outras duas matrizes L3×3 e U3×3, onde L é uma matriz triangular inferior, com l11 = l22 = l33 = 1, e U, uma matriz t

Determinantes

IDECAN · 2019

Seja  A3×3  uma matriz que pode ser decomposta como o produto de outras duas matrizes  L3×3  e  U3×3, onde L é uma matriz triangular inferior, com  l11 = l22 = l33 = 1,  e  U, uma matriz triangular superior, tal que  A = L. U

 

\(\mathsf{\begin{pmatrix}5&2&1\\3&1&4\\1&1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\end{pmatrix}}\)

 

Calcule o determinante da matriz U.

  1. det U = −13
  2. det U = −9
  3. det U = −2
  4. det U = 3
  5. det U = 5
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Gabarito

A

Comentário do professor

Partindo de \(A=L\cdot U\), aplicamos determinantes: \(\det(A)=\det(L)\det(U)\). Como \(L\) é triangular inferior com \(l_{11}=l_{22}=l_{33}=1\), o produto dos elementos da diagonal é 1, logo \(\det(L)=1\).

Portanto \(\det(U)=\det(A)\). Calculamos \(\det(A)\) por Sarrus para \(A=\begin{pmatrix}5&2&1\\3&1&4\\1&1&3\end{pmatrix}\):

\(\det(A)=5\cdot1\cdot3+2\cdot4\cdot1+1\cdot3\cdot1-(1\cdot1\cdot1+5\cdot4\cdot1+3\cdot2\cdot3)\)

\(\det(A)=15+8+3-(1+20+18)=26-39=-13\).

Assim, \(\det(U)=-13\), que é o resultado buscado.

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