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Questão FC261966

Seja A uma matriz de ordem 2, dada pelo produto de duas matrizes B e C, como podemos ver abaixo: \(\mathsf{A=\begin{pmatrix}cos(\theta)&sen(\theta)\\-sen(\theta)&cos(\theta)\end{pm

Determinantes

IDECAN · 2019

Seja  A  uma matriz de ordem 2, dada pelo produto de duas matrizes  B  e  C, como podemos ver abaixo:


\(\mathsf{A=\begin{pmatrix}cos(\theta)&sen(\theta)\\-sen(\theta)&cos(\theta)\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}1&-i\\-i&1\end{pmatrix}}\)


Calcule o det (A).

  1. det(A) = 2
  2. det(A) = 1
  3. det(A) = 0
  4. det(A) = −1
  5. det(A) = −2
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Gabarito

A

Comentário do professor

Temos \(A=B\cdot C\) com \(B=\begin{pmatrix}\cos\theta & \sen\theta\\ -\sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\) e \(C=\begin{pmatrix}1 & -i\\ -i & 1\end{pmatrix}\). Queremos \(\det(A)\).

Propriedade: determinante do produto satisfaz \(\det(BC)=\det(B)\cdot\det(C)\). Assim basta calcular \(\det(B)\) e \(\det(C)\).

\(\det(B)\): \(\det\!\begin{pmatrix}\cos\theta & \sen\theta\\ -\sen\theta & \cos\theta\end{pmatrix}=\cos^2\theta+\sen^2\theta=1\).

\(\det(C)\): \(\det\!\begin{pmatrix}1 & -i\\ -i & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-i)(-i)=1-i^2=1-(-1)=2\).

Logo \(\det(A)=\det(B)\cdot\det(C)=1\cdot2=\)\2\.

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