Questão FC261977
Sabe-se que, dado um conjunto \(\lambda\) com cinco pontos distintos de um sistema cartesiano ortogonal Oxy, em que não há três que sejam colineares, fica determinada uma única côn
Sistemas Lineares
IDECAN · 2021
Sabe-se que, dado um conjunto \(\lambda\) com cinco pontos distintos de um sistema cartesiano ortogonal Oxy, em que não há três que sejam colineares, fica determinada uma única cônica, que contém esses cinco pontos. A forma geral de uma cônica no plano é
\(ε (x,y): Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\)
Ao se utilizar os pontos de \(\lambda\) em \(ε\), constrói-se o sistema \(\rho\). De acordo com as informações, marque a única opção correta.
- \(\rho\) não é linear, mas admite uma única solução.
- \(\rho\) é linear e admite uma única solução.
- \(\rho\) é linear e tem sempre infinitas soluções, pois a quantidade de variáveis do sistema é maior que a quantidade de equações.
- \(\rho\) não é linear e por isso, não há método para resolver todos os casos possíveis.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
As incógnitas do sistema \(\rho\) são os coeficientes \(A,B,C,D,E,F\) da equação geral da cônica; ou seja, temos 6 variáveis. Cada um dos cinco pontos de \(\lambda\) fornece uma equação linear em \(A,\dots,F\), logo há 5 equações.
As equações são todas de primeira ordem nas incógnitas, formando um sistema linear e, como os termos independentes são zero ao substituir os pontos, é um sistema homogêneo.
Num sistema homogêneo com mais variáveis que equações a dimensão do espaço solução é pelo menos 1, portanto existe uma família de soluções escalares (infinitas): qualquer múltiplo de uma solução também satisfaz o sistema. Geometricamente, isso corresponde à única cônica determinada pelos cinco pontos ser representada por coeficientes definidos apenas até um fator multiplicativo.
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