O sistema \(\begin{cases} ax - y = b \\ x - y = a \end{cases}\) tem infinitas soluções sempre que

Gabarito

B

Comentário do professor

Para que o sistema tenha soluções infinitas é preciso que as equações sejam linearmente dependentes, o que ocorre quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero.

A matriz é \(\begin{pmatrix}a & -1\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix}\) e seu determinante é \(-a+1\). Igualando a zero vem \( -a+1=0\), logo \(a=1\).

Substituindo \(a=1\) no sistema obtemos \(\begin{cases}x-y=b\\[2pt]x-y=1\end{cases}\). Para as equações serem idênticas é necessário \(b=1\), garantindo consistência e dependência.

Portanto, o sistema possui soluções infinitas exatamente quando \(a=b=1\). O conjunto solução é \(\{(t,t-1)\mid t\in\mathbb{R}\}\).