Sendo \(i\) a unidade imaginária, e \(S = \sum^{1010} _{k = 0} i^{2k+1}\) a única opção correta para o valor de \(S\) é:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Calcule \(S=\sum_{k=0}^{1010} i^{2k+1}\). Observando que \(i^2=-1\), temos \(i^{2k+1}=i(i^2)^k=i(-1)^k\). Assim cada termo é \(i\) ou \(-i\), alternando conforme \(k\).

Podemos escrever \(S=i\sum_{k=0}^{1010}(-1)^k\). A soma dentro é uma sequência alternada com \(1011\) termos; formando pares \((1-1)\) eles se cancelam, sobrando um \(+1\) final, logo \(\sum_{k=0}^{1010}(-1)^k=1\).

Portanto \(S=i\cdot 1\). Em outras palavras, após cancelar os pares de termos opostos, resta a última parcela igual a \(i\).
Resultado: \(i\).