Dado o número complexo \(\large{2+i \over ( \beta +2i)}\), sendo \(\beta\) um número real e a parte real do número complexo igual a zero, calcule o valor de \(\beta\).

Gabarito

A

Comentário do professor

Para anular a divisão, multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador: \( \frac{2+i}{\beta+2i}\cdot\frac{\beta-2i}{\beta-2i}\).

No numerador: \((2+i)(\beta-2i)=2\beta-4i+\beta i-2i^2=2\beta+2+(\beta-4)i\), usando \(i^2=-1\).

No denominador: \((\beta+2i)(\beta-2i)=\beta^2+4\), que é sempre positivo para \(\beta\in\mathbb{R}\).

Logo o quociente é \( \frac{2\beta+2}{\beta^2+4}+\frac{\beta-4}{\beta^2+4}\,i\). A parte real é \( \frac{2\beta+2}{\beta^2+4}\).

Querendo essa parte real igual a zero, impõe-se \(2\beta+2=0\), daí \(\beta=-1\).

Resposta: \(\beta=-1\).