Seja i um número complexo tal que i2 = −1. Com base nessa informação, calcule \(\mathsf{S=\sum^{2019}_{r=1}i^r}\) .

Gabarito

B

Comentário do professor

Temos \(S=\sum_{r=1}^{2019} i^r\) com \(i^2=-1\). A potência de \(i\) apresenta periodicidade de 4: \(i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1\) e repete.

Logo, cada bloco de quatro termos tem soma nula: \(i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0\).

Dividindo 2019 por 4 obtemos \(2019=4\cdot504+3\). Assim, os primeiros \(4\cdot504=2016\) termos se anulam e resta somar os três últimos termos.

Esses termos são \(i^{2017}=i^{4\cdot504+1}=i\), \(i^{2018}=i^2=-1\) e \(i^{2019}=i^3=-i\). A soma é \(i+(-1)+(-i)=-1\).

Portanto, \(S=-1\), conforme a alternativa correta.