Determine o valor de \(X\), onde para todo \(n \in \mathbb{N}\), temos a seguinte igualdade: \(\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=X\)

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Aplicando o Teorema Binomial, temos \( (1+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{\,n-k}1^{\,k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\). Portanto a soma dada é exatamente \(2^n\), ou seja, \(X=2^n\).

Outra interpretação direta: \(\binom{n}{k}\) conta os subconjuntos de tamanho \(k\) de um conjunto com \(n\) elementos. Somando para todos os \(k\) contamos todos os possíveis subconjuntos, cujo total é \(2^n\) (cada elemento pode entrar ou não no subconjunto).

Assim, por identidade algébrica e por raciocínio combinatório, conclui-se que \(X=2^n\).