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Questão FC262002

Seja \(P(x) = x^3 + (t - 10)x^2 + (33 - 6t)x + 9t - 36\) um polinômio de coeficientes reais. O conjunto de todos os valores de \(t\), para os quais 3 é uma raiz dupla de \(P\), é:

Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal

IDECAN · 2021

Seja

\(P(x) = x^3 + (t - 10)x^2 + (33 - 6t)x + 9t - 36\) um polinômio de coeficientes reais. O conjunto de todos os valores de \(t\), para os quais 3 é uma raiz dupla de \(P\), é:

  1. \(\{t ∈ \mathbb R | t \ne 1\}\)
  2. \(\{t ∈ \mathbb R | 1 \le t \le 4\}\)
  3. \(\{t ∈ \mathbb R | t \ne 1 \ e \ t \le 4\}\)
  4. \(\{t ∈ \mathbb R | t = 1 \ ou \ t = 4\}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Como 3 é raiz dupla de um polinômio cúbico, podemos escrever \(P(x)=(x-3)^2(x-r)\) para alguma r.

Expandindo: \(P(x)=x^3+(-6-r)x^2+(9+6r)x-9r\). Comparando com o polinômio dado, igualamos o termo constante: \(9t-36=-9r\), de onde \(r=4-t\).

Para que a multiplicidade de 3 seja exatamente 2, é necessário que \(r\neq3\); caso contrário, 3 seria raiz tripla. Assim \(4-t\neq3\), isto é, t\neq1.

Como não há outra restrição sobre \(t\), o conjunto procurado é \(\{t\in\mathbb{R}\mid t\neq1\}\).

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