Questão FC262003
Dado um polinômio \(P\) , em que \(P(r) = P \left ({ \large 1 \over r}\right) = 0\), os números \(r\) e \({ \large 1 \over r}\) são chamados de raízes recíprocas de \(P\). No polin
Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal
IDECAN · 2021
Dado um polinômio \(P\) , em que \(P(r) = P \left ({ \large 1 \over r}\right) = 0\), os números \(r\) e \({ \large 1 \over r}\) são chamados de raízes recíprocas de \(P\). No polinômio
\(P(x) = x^5 + { \large 11 \over 4} x^4 - { \large 55 \over 8} x^3 - { \large 55 \over 8} x^2 + { \large 11 \over 4} x + 1\)
a soma dos quadrados das raízes recíprocas, é:
- \({ \large 483 \over 28}\)
- \(-{ \large 69 \over 8}\)
- \({ \large 11 \over 4}\)
- \({ \large 341 \over 16}\)
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Gabarito
D
Comentário do professor
Use as identidades de Newton para o polinômio monico \(P(x)=x^5+bx^4+cx^3+\dots\). Se \(S_1\) é a soma das raízes e \(S_2\) a soma dos seus quadrados, vale
\(S_1=-b\) e \(S_2=b^2-2c\).
Aqui \(b=\dfrac{11}{4}\) e \(c=-\dfrac{55}{8}\). Então
\(S_2=\left(\dfrac{11}{4}\right)^2-2\left(-\dfrac{55}{8}\right)\)
\(=\dfrac{121}{16}+\dfrac{110}{8}=\dfrac{121+220}{16}=\dfrac{341}{16}.\)
Portanto a resposta é \(\dfrac{341}{16}\) (letra D).
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