Observe a figura a seguir. Sabendo que o triângulo ABC tem 12 cm² e que todos os triângulos na figura sãos semelhantes, então a soma das regiões hachuradas é igual a:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Observe que todos os triângulos são semelhantes a \(ABC\). Seja \(A_{ABC}=12\) cm². Pela figura os triângulos maiores têm razões de semelhança relativas a \(ABC\) iguais a \(k=2,3,5,7\) (isto é, seus lados são \(2,3,5,7\) vezes os de \(ABC\)).

A área escala com \(k^2\), logo as áreas desses triângulos são \(4\times12\), \(9\times12\), \(25\times12\) e \(49\times12\).

As regiões hachuradas são diferenças entre triângulos sucessivos: a interna é \(12\) (o próprio \(ABC\)), a intermediária é \((9-4)\times12=5\times12\) e a externa é \((49-25)\times12=24\times12\).

Somando: \(12+(5\times12)+(24\times12)=12(1+5+24)=12\times30=360\) cm², portanto a resposta correta é 360 cm².