No triângulo retângulo abaixo, é válida a relação a2.senB.senC.tanB = 25. Calcule o valor de K = a.cossecB – c.tanC e assinale a alternativa correta.

Gabarito

A

Comentário do professor

Usamos as razões trigonométricas no triângulo: sen \(B=\dfrac{b}{a}\), sen \(C=\dfrac{c}{a}\), tan \(B=\dfrac{b}{c}\), cossec \(B=\dfrac{a}{b}\) e tan \(C=\dfrac{c}{b}\).

Substituindo em \(a^2\cdot\sen B\cdot\sen C\cdot\tan B=25\):

\(a^2\cdot\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{b}{c}=25\Rightarrow b^2=25\Rightarrow b=5\).

Agora calcule \( \mathbf{K} = a\cdot\cossec B - c\cdot\tan C\):

\(K = a\cdot\dfrac{a}{b}-c\cdot\dfrac{c}{b}=\dfrac{a^2-c^2}{b}\).

Pela relação de Pitágoras, \(a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2-c^2=b^2\). Assim

\(K=\dfrac{b^2}{b}=b=5\).