Sabendo-se que os vértices do triângulo interno estão sobre o ponto médio de cada um dos lados do triângulo externo, qual é o valor da altura h do triângulo interno?

Gabarito

D

Comentário do professor

Ao unir os pontos médios dos lados de um triângulo equilátero obtém-se o triângulo medial, que também é equilátero. Cada lado desse triângulo interno vale metade do lado do triângulo externo, ou seja \(s=\tfrac{L}{2}\).

Pela semelhança entre triângulos equiláteros, todas as dimensões se reduzem pelo mesmo fator \( \tfrac{1}{2}\). Assim, a razão entre as alturas é a mesma da razão entre os lados.

A altura de um triângulo equilátero de lado \(s\) é \( \tfrac{s\sqrt{3}}{2}\). Substituindo \(s=\tfrac{L}{2}\) obtemos \(h=\tfrac{L}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{L\sqrt{3}}{4}\).

Portanto, \(h=\dfrac{L\sqrt{3}}{4}\).