Do ponto médio dos lados AB e AC de um triângulo ABC traçam-se retas que se cortam num ponto M do terceiro lado BC e que formam com este lado ângulos iguais, cujo valor é \(θ\). A

Gabarito

D

Comentário do professor

Como \(C'\) e \(B'\) são pontos médios de \(AB\) e \(AC\), o triângulo \(AC'B'\) é **semelhante** a \(ABC\) e, portanto, \(C'B'\parallel BC\). Denotando \(C'B'=c\), \(AC'=a\), \(AB'=b\) e \(C'M=B'M=d\), usamos a configuração do triângulo \(MC'B'\).

Pela lei dos cossenos em \(MC'B'\): \(d^2=c^2+d^2-2dc\cos\theta\), de onde \(\cos\theta=\dfrac{c}{2d}\).

Pela lei dos senos em \(AC'B'\): \(\dfrac{c}{\sin\alpha}=\dfrac{a}{\sin\gamma}=\dfrac{b}{\sin\beta}\). E em \(MB'C\): \(\dfrac{b}{\sin\theta}=\dfrac{d}{\sin\gamma}\), logo \(\sin\theta=\dfrac{a\sin\beta}{d}\).

Finalmente, \(\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{\tfrac{c}{2d}}{\tfrac{a\sin\beta}{d}}=\dfrac{c}{2a\sin\beta}\). Usando \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\gamma}\) obtém‑se \(\boxed{\cot\theta=\dfrac{\sin\alpha}{2\sin\beta\sin\gamma}}\).