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Questão FC262060

Uma professora de Geometria lançou, como desafio para seus alunos, investigar que tipo de quadrilátero é obtido ligando-se os pontos médios de um quadrilátero qualquer. Usando o Ge

Geometria Plana

IDECAN · 2021

Uma professora de Geometria lançou, como desafio para seus alunos, investigar que tipo de quadrilátero é obtido ligando-se os pontos médios de um quadrilátero qualquer. Usando o GeoGebra, os alunos fizeram a construção e lançaram conjecturas após movimentar os vértices do quadrilátero desenhado. Tomando como base a Teoria de Van Hiele, assinale a alternativa que apresente a conjectura correta apresentada.

  1. O quadrilátero obtido terá lados opostos paralelos a uma das diagonais do quadrilátero original, portanto, é um paralelogramo.
  2. O quadrilátero obtido terá lados opostos paralelos a uma das diagonais do quadrilátero original, portanto, é um retângulo.
  3. O quadrilátero obtido terá lados opostos paralelos a uma das diagonais do quadrilátero original, com a mesma medida, portanto, é um losango.
  4. O quadrilátero obtido terá ângulos retos e lados opostos paralelos a uma das diagonais do quadrilátero original com a mesma medida, portanto, é um quadrado.
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Gabarito

A

Comentário do professor

Ao ligar os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer obtém‑se sempre um paralelogramo. Seus lados opostos são paralelos às diagonais do quadrilátero original.

Sejam \(A,B,C,D\) os vértices e \(E,F,G,H\) os pontos médios de \(AB,BC,CD,DA\). Então \(E=\tfrac{A+B}{2}\), \(F=\tfrac{B+C}{2}\), \(G=\tfrac{C+D}{2}\), \(H=\tfrac{D+A}{2}\).

Calculando vetores: \( \overrightarrow{EF}= \tfrac{C-A}{2}\) e \( \overrightarrow{GH}= \tfrac{C-A}{2}\), logo \(EF\parallel GH\). Analogamente \( \overrightarrow{FG}= \tfrac{D-B}{2}\) e \( \overrightarrow{HE}= \tfrac{D-B}{2}\), logo \(FG\parallel HE\).

Como os lados opostos são paralelos e congruentes, a figura formada é um paralelogramo (resultado conhecido como teorema de Varignon), válido para qualquer quadrilátero.

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