Considere um triangulo isósceles ABC de base \(𝑎 = 12\) que está escrito numa circunferência de diâmetro 20. A soma dos lados restantes do triângulo é

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja o raio \(R=10\) (diâmetro 20) e a base \(a=12\). O semibase é \(6\) e a distância do centro \(O\) ao ponto médio da base é \(d=\sqrt{R^2-(a/2)^2}=\sqrt{100-36}=8\).

Como o vértice do triângulo pode ficar em qualquer uma das duas partes da circunferência em relação à base, a altura relativa à base vale \(h=R\pm d\), ou seja \(h=10-8=2\) ou \(h=10+8=18\).

Os lados congruentes medem \(l=\sqrt{h^2+6^2}\). Para \(h=2\): \(l=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\), soma \(2l=4\sqrt{10}\). Para \(h=18\): \(l=\sqrt{324+36}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}\), soma \(2l=12\sqrt{10}\).

Conclusão: as somas possíveis são \(4\sqrt{10}\) ou \(12\sqrt{10}\). Gabarito: alternativa B.