Quanto vale a razão entre a área do círculo limitado pela circunferência de centro C em relação à área do círculo limitado pela circunferência de centro em A?

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja o raio da circunferência de centro \(A\) igual a \(x\). Seja \(C\) o ponto médio de um lado do hexágono regular inscrito; o raio da circunferência de centro \(C\) denote‑se por \(h\).

O lado do hexágono vale \(x\), logo a metade desse lado é \(\frac{x}{2}\). A distância de \(A\) ao ponto médio do lado forma um triângulo retângulo de hipotenusa \(x\), cateto \(\frac{x}{2}\) e altura \(h\).

Aplicando o teorema de Pitágoras: \(x^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + h^2\). Assim \(h^2 = x^2 - \frac{x^2}{4} = \frac{3x^2}{4}\), ou \(h=\frac{x\sqrt{3}}{2}\).

A área da circunferência centrada em \(C\) é \(\pi h^2\) e a centrada em \(A\) é \(\pi x^2\). Portanto a razão entre as áreas é \(\dfrac{\pi h^2}{\pi x^2}=\dfrac{h^2}{x^2}=\dfrac{3}{4}\).