Questão FC262100
Considere as assertivas abaixo: I. O volume de um cone de altura \(h\) e raio da base \(r\) é dado por \(V=\pi r^2h\). II. A área total \(A_{total}\) de um cone é dada por \(A_{tot
Geometria Espacial
IDECAN · 2021
Considere as assertivas abaixo:
I. O volume de um cone de altura \(h\) e raio da base \(r\) é dado por \(V=\pi r^2h\).
II. A área total \(A_{total}\) de um cone é dada por \(A_{total} = A_{lateral}+A_{base}=\pi r(g+r)\), onde \(r\) é o raio e \(g\) sua geratriz.
III. Seja \(r\) o raio de uma esfera; a sua área da superfície é dada por \(A=4\pi r^2\).
Assinale
- se somente a afirmativa I estiver correta.
- se somente a afirmativa II estiver correta.
- se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
- se todas as afirmativas estiverem corretas.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
O gabarito indica que estão corretas as afirmativas II e III.
Para o cone: na planificação aparece um círculo (a base) de área \( \pi r^2 \) e um setor circular (a superfície lateral). O comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base, \(2\pi r\). A área do setor é dada por \(\tfrac{1}{2}\times(\text{raio do setor})\times(\text{comprimento do arco})=\tfrac{1}{2}\,g\,(2\pi r)=\pi r g\), onde \(g\) é a geratriz. Somando base e lateral obtém-se \(A_{total}=\pi r^2+\pi r g=\pi r(g+r)\).
Para a esfera: a área superficial é a clássica fórmula \(A=4\pi r^2\). Pode-se obter por integração (somando anéis circulares gerados pela rotação de um semicirculo) ou por argumentos geométricos clássicos; o resultado é a expressão indicada.
Portanto, estão corretas apenas II e III.
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