O sólido representado na figura abaixo tem duas faces hexagonais regulares, que estão em planos paralelos, distantes 4 cm. Essas faces, tem lados medindo 2 cm e \(\sqrt 3 \ cm\). A

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Comece com o prisma reto cuja base é o hexágono regular de lado 2. A área desse hexágono é \(A=\dfrac{3(2)^2\sqrt3}{2}=6\sqrt3\), então o volume do prisma de altura 4 é \(V_{prisma}=6\sqrt3\cdot4=24\sqrt3\).

Pela condição das projeções, cada vértice do hexágono menor projeta-se no ponto médio de um lado do hexágono maior. Para obter a base de cada pirâmide retirada, considere o triângulo formado no plano da base: aplicando o triângulo retângulo obtemos \(1^2=h^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2\), daí \(h=\dfrac12\).

Assim, a área de cada triângulo-base é \(A_b=\dfrac{b\cdot h}{2}=\dfrac{\sqrt3\cdot\frac12}{2}=\dfrac{\sqrt3}{4}\). O volume de cada pirâmide é \(\dfrac{A_b\cdot4}{3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\), então as 6 pirâmides somam \(6\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=2\sqrt3\).

Subtraindo: \(24\sqrt3-2\sqrt3=22\sqrt3\), que é o volume pedido.