Questão FC262105
Sejam \(T_{a,b}\) , um Toro de raio interno \(b\) e raio externo \(a, b < a, \ e \ C\), um cilindro circular reto de raio \(b\) e altura \(2 \pi a\). \(T_{a,b}\) e \(C\) estão apoi
Geometria Espacial
IDECAN · 2021
Sejam \(T_{a,b}\) , um Toro de raio interno \(b\) e raio externo \(a, b < a, \ e \ C\), um cilindro circular reto de raio \(b\) e altura \(2 \pi a\). \(T_{a,b}\) e \(C\) estão apoiados no plano \(z = 0\), de um sistema de eixo cartesianos ortogonais tridimensional. A figura a seguir exibe as porções de \(T_{a,b} \ e \ C\) situados entre \(z = 0\) e \(z = k\), com \(0 < k < 2b\).
Com base nessas informações, avalie as sentenças.
I. As secções determinadas no Toro e no Cilindro por cada plano \(z = k\), têm mesma área.
II. O Volume do Toro é dado por \(V = 2\pi^2b^2a\), sempre que \(b < a\).
III. Os volumes do Toro e do cilindro são comparáveis pelo Princípio de Cavalieri.
IV. Quaisquer secções determinadas no Toro e no Cilindro por um mesmo plano têm mesma área.
Sobre essas sentenças é correto concluir que:
- Apenas afirmações I, III e IV estão corretas.
- Apenas as afirmações I, II e III estão corretas.
- Apenas as afirmações I e III estão corretas.
- Apenas as afirmações II e IV estão corretas.
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Gabarito
B
Comentário do professor
A alternativa B está correta: as afirmações I, II e III são verdadeiras.
Para I, a secção do toro por \(z=k\) (com \(0fatia em z=k do cilindro cujo eixo é horizontal e comprimento \(2\pi a\) tem exatamente área \( (2\pi a)\cdot(2\rho)=4\pi a\rho\); logo as áreas coincidem.
Para II, aplicando o Teorema de Pappus (área do disco geradora \(\pi b^2\) desloca-se por \(2\pi a\)) obtém‑se \(V=2\pi a\cdot\pi b^2=2\pi^2ab^2\) (válido quando \(b
Para III, como as áreas das secções horizontais coincidem para todo \(z\), o Princípio de Cavalieri garante que os volumes dos dois sólidos são iguais, permitindo sua comparação e cálculo.
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