Questão FC262106
No interior da região limitada por um cubo de aresta \(3 \sqrt 3\) m marcam-se vinte e oito pontos distintos. Sobre as distâncias possíveis entre dois desses pontos, a única certez
Geometria Espacial
IDECAN · 2021
No interior da região limitada por um cubo de aresta \(3 \sqrt 3\) m marcam-se vinte e oito pontos distintos. Sobre as distâncias possíveis entre dois desses pontos, a única certeza é que:
- Todas as distâncias são menores que 3 m.
- Exatamente uma dessas distâncias é igual a \(\sqrt 3\) m.
- Ao menos uma dessas distâncias é menor ou igual a 3 m.
- Ao menos uma dessas distâncias é menor ou igual a \(\sqrt 3\) m.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Divida o cubo em \(3\times3\times3\) subcubos congruentes cortando cada aresta em três partes iguais; cada subcubo tem lado \( \frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3\). Pela fórmula da diagonal espacial, a diagonal de um subcubo é \( \sqrt3\cdot\sqrt3=3\), portanto quaisquer dois pontos dentro do mesmo subcubo estão a uma distância ≤ 3 m.
Usando o princípio da gaveta, 28 pontos distribuídos entre apenas 27 subcubos obrigam que algum subcubo contenha pelo menos dois pontos. Assim, existe necessariamente um par de pontos com distância ≤ 3 m.
Esse valor é ótimo: existe arranjo com 28 pontos cuja menor distância é exatamente \(3\) m (por exemplo, vértices, pontos médios das arestas e divisões em três das diagonais do cubo), mostrando a precisão do limite.
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