Questão FC262113
Na barraca de um vendedor de balões há um balão em formato esférico que possui um número n de estrelinhas desenhadas uniformemente sobre sua superfície. O balão encontra-se preench
Geometria Espacial
IDECAN · 2018
Na barraca de um vendedor de balões há um balão em formato esférico que possui um número n de estrelinhas desenhadas uniformemente sobre sua superfície. O balão encontra-se preenchido com uma certa quantidade de gás que lhe dá um volume V. Uma criança ao comprar esse balão pede para que o vendedor o encha um pouco mais, fazendo com que o seu volume seja oito vezes maior que o seu volume inicial V. Se inicialmente a densidade de estrelinhas na superfície do balão era d = \({ \large n \over s}\) , onde S é a área da superfície do balão, qual é o novo valor dessa densidade depois que o balão aumenta de volume?
- d.
- 8d.
- \({ \large 1 \over 4}d\).
- \({ \large 1 \over 8}d\).
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A relação entre volume e raio de uma esfera é \(V=\tfrac{4\pi r^3}{3}\). Se o volume aumenta 8 vezes, isto é \(V_2=8V_1\), então \(r_2^3=8r_1^3\) e, portanto, o raio fica \(r_2=2r_1\).
A área da superfície é \(S=4\pi r^2\). Com \(r_2=2r_1\) obtemos \(S_2=4\pi(2r_1)^2=4\cdot4\pi r_1^2=4S_1\): a área quadruplica.
A densidade de estrelinhas é \(d=\dfrac{n}{S}\). Depois do aumento passa a ser \(d_2=\dfrac{n}{S_2}=\dfrac{n}{4S_1}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{n}{S_1}=\dfrac{1}{4}d\).
Logo, a nova densidade é \(\tfrac{1}{4}d\).
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