Considere os pontos A(1, 2) e B(4, 6), e a reta r de equação 3x − 4y + 1 = 0. A partir disso, determine a distância do ponto médio do segmento AB até a reta r.

Gabarito

D

Comentário do professor

Calcule primeiro o Ponto médio de \(A(1,2)\) e \(B(4,6)\): \(M\big(\tfrac{1+4}{2},\tfrac{2+6}{2}\big)=M\big(\tfrac{5}{2},4\big)\).

Use a Fórmula da distância de um ponto \(P(x_1,y_1)\) à reta \(ax+by+c=0\): \(d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Para a reta r dada por \(3x-4y+1=0\) temos \(a=3\), \(b=-4\), \(c=1\) e para \(M\) use \(x_1=\tfrac{5}{2}\), \(y_1=4\).

Calcule o numerador: \(\big|3\cdot\tfrac{5}{2}-4\cdot4+1\big|=\big|\tfrac{15}{2}-16+1\big|=\big|-\tfrac{15}{2}\big|=\tfrac{15}{2}\).
Denominador: \(\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5\).

Portanto, \(d=\dfrac{\tfrac{15}{2}}{5}=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}\).
Resposta: \( \tfrac{3}{2} \).