A cônica \(\lambda : 4x^2 = 4 + y^2\), que contém o ponto \(P(x_0, y_0)\), está representada num sistema cartesiano ortogonal \(Oxy\). Nessas condições, o produto das distâncias de

Gabarito

B

Comentário do professor

A equação \(4x^2=4+y^2\) representa uma hipérbole. Reescrevendo temos \(x^2-\dfrac{y^2}{4}=1\), portanto \(a=1\) e \(b=2\). As assíntotas são \(y=\pm 2x\).

Para um ponto \(P(x_0,y_0)\) da hipérbole, da própria equação vem \(y_0^2=4(x_0^2-1)\), ou \(y_0=\pm 2\sqrt{x_0^2-1}\).

As retas das assíntotas em forma geral são \(2x-y=0\) e \(-2x-y=0\). A distância de \(P\) a uma reta \(ax+by+c=0\) é \(d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Calculando as duas distâncias e multiplicando obtemos \(d_1d_2=\dfrac{(2x_0)^2-(2\sqrt{x_0^2-1})^2}{5}=\dfrac{4}{5}=0{,}8\). Assim, o produto é \(0{,}8\).