Num sistema cartesiano ortogonal \(Oxyz\), a secção que \(x - 2z = 5\) determina na quádrica \((x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 - 4z^2 = 0\) é:

Gabarito

D

Comentário do professor

Da equação do plano \(x-2z=5\) isolamos \(z=\dfrac{x-5}{2}\) e substituímos na quádrica \((x-1)^2-4(y+2)^2-4z^2=0\).

Como \(-4z^2=-(x-5)^2\), obtemos \((x-1)^2-(x-5)^2-4(y+2)^2=0\). Calculando a diferença de quadrados fica \(8x-24-4(y+2)^2=0\), isto é \(2x=y^2+4y+10\) ou \(x=\dfrac{y^2}{2}+2y+5\).

Trata-se de uma parábola, pois a equação do corte é quadrática em \(y\) mas linear em \(x\). Colocando em forma canônica: \(x=\tfrac{1}{2}(y+2)^2+3\), vemos o vértice em \((3,-2)\) e que a abertura é no sentido positivo de \(x\).