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Questão FC262138

Em um sistema cartesiano ortogonal \(Oxy\), constrói-se a curva \(\lambda : 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 40x - 30y = 0\). Um novo sistema de coordenadas ortogonais planas \(X'OY'\) é obti

Geometria Analítica

IDECAN · 2021

Em um sistema cartesiano ortogonal \(Oxy\), constrói-se a curva \(\lambda : 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 40x - 30y = 0\). Um novo sistema de coordenadas ortogonais planas \(X'OY'\) é obtido do primeiro, por uma rotação de ângulo \(0 < \theta < 90º\), em torno da origem e no sentido anti-horário. Nesse novo sistema, a equação de \(\lambda\) é tal que o coeficiente de \(x'y'\) é zero. Nessas condições, pode-se afirmar, corretamente, que:

  1. \(cos 2 \theta = { \large 24 \over 7} \ e \ \lambda\) é uma elipse.
  2. \(tan 2 \theta = { \large 24 \over 7} \ e \ \lambda\) é uma parábola.
  3. \(tan 2 \theta = { \large 24 \over 7} \ e \ \lambda\) é uma elipse.
  4. \(cos 2 \theta = 1 \ e \ \lambda\) é uma parábola.
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Gabarito

B

Comentário do professor

Para remover o termo misto \(x'y'\) numa rotação de eixo utiliza-se a fórmula \( \tan 2\theta=\dfrac{B}{A-C}\), onde \(A,B,C\) são os coeficientes de \(x^2,xy,y^2\). Aqui \(A=9,\ B=-24,\ C=16\), então\n
\n\( \tan 2\theta=\dfrac{-24}{9-16}=\dfrac{-24}{-7}=\dfrac{24}{7}\).

\n\n

Quanto à classificação, usa-se o discriminante \( \Delta=B^2-4AC\). Substituindo, \(\Delta =(-24)^2-4\cdot9\cdot16=576-576=0\). \n
\nUma conica com \(\Delta=0\) é uma parábola.

\n\n

Portanto, \(\tan 2\theta=24/7\) e \(\lambda\) é uma parábola, conforme a alternativa.

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