Dados dois pares ordenados \((2,-4)\) e \((2,0)\) que representam os vértices de um hipérbole de foco \((2,-2+ \sqrt{13})\), calcule a equação da hipérbole que satisfaça as condiçõ

Gabarito

A

Comentário do professor

Os vértices \((2,-4)\) e \((2,0)\) têm mesma abscissa, logo a hipérbole tem eixo transverso vertical; o centro é a média: \((2,-2)\).

A distância do centro a um vértice é \(a=2\) (metade do eixo real). O foco dado \((2,-2+\sqrt{13})\) está a \(c=\sqrt{13}\) do centro, então c=\(\sqrt{13}\).

Pela relação \(c^2=a^2+b^2\) vem \(b^2=c^2-a^2=13-4=9\), portanto b=3.

Para eixo vertical a equação padrão é \(\dfrac{(y-y_0)^2}{a^2}-\dfrac{(x-x_0)^2}{b^2}=1\). Substituindo:\\(\dfrac{(y+2)^2}{4}-\dfrac{(x-2)^2}{9}=1\).

Multiplicando por 36 e desenvolvendo: \(9(y+2)^2-4(x-2)^2=36\Rightarrow 4x^2-9y^2-16x-36y+16=0\), que é a equação indicada.