Determine a equação da curva gerada por um ponto que se move de modo que a sua distância ao ponto (−1, 3) seja igual à sua distância à reta \(𝑦 + 3 = 0\).

Gabarito

B

Comentário do professor

Temos que a distância de \((x,y)\) ao foco \((-1,3)\) é igual à sua distância à diretriz \(y+3=0\). Assim: \( \sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}=|y+3|.\)

Elevando ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto: \((x+1)^2+(y-3)^2=(y+3)^2.\)

Expandindo e simplificando (cancelando \(y^2\) e \(9\)): \((x+1)^2-12y=0\), ou seja \(x^2+2x-12y+1=0\).

Portanto, a curva é uma parábola com foco \((-1,3)\), diretriz \(y=-3\), vértice \((-1,0)\) e eixo de simetria \(x=-1\), confirmando a equação dada.