Considere uma elipse centrada na origem, com eixo maior sobre o eixo y. Sabendo que essa elipse passa pelos pontos \(A(1, \sqrt{14})\) e \(B(2, -2 \sqrt 2)\), a excentricidade dess

Gabarito

B

Comentário do professor

Temos uma elipse centrada na origem com eixo maior sobre o eixo \(y\), logo sua equação é \( \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\) com \(a>b\).

Substituindo \(A(1,\sqrt{14})\) e \(B(2,-2\sqrt2)\) obtemos o sistema em \(u=\frac{1}{a^2}\), \(v=\frac{1}{b^2}\): \(14u+v=1\) e \(8u+4v=1\).

Resolvendo: multiplicando a primeira por 4 e subtraindo a segunda vem \(48u=3\), então \(u=\tfrac{1}{16}\) e \(a^2=16\). Daí \(v=1-14u=\tfrac{1}{8}\) e \(b^2=8\).

Calculando \(c^2=a^2-b^2=16-8=8\) vemos que \(c=b\). A excentricidade é \(e=\frac{c}{a}=\frac{b}{b\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\).