Um tanque de produtos químicos, tem o formato de um cone invertido, com 16 m de altura e uma base de 8 m de diâmetro. O produto químico entra no tanque a uma taxa de 2 m³/min. Dete

Gabarito

D

Comentário do professor

Temos um tanque em forma de cone invertido sendo preenchido à taxa \( \dfrac{dV}{dt}=2\ \text{m}^3/\text{min} \).

Pela semelhança de triângulos entre o cone total (altura 16 m, raio 4 m) e o cone preenchido, obtém-se \( r=\dfrac{h}{4} \).

Usando a fórmula do volume do cone \( V=\dfrac{\pi r^2 h}{3} \) e substituindo \(r\), vem \( V=\dfrac{\pi (h/4)^2 h}{3}=\dfrac{\pi h^3}{48} \).

Agora, derivar em relação ao tempo: \( \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{\pi}{48}\cdot 3h^2\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{\pi h^2}{16}\dfrac{dh}{dt} \).

Para \(h=4\) e \( \dfrac{dV}{dt}=2 \): \(2=\dfrac{\pi\cdot 4^2}{16}\dfrac{dh}{dt}=\pi\dfrac{dh}{dt}\). Logo \( \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{2}{\pi}\ \text{m/min} \).