Determine a solução geral da seguinte equação de Bernoulli, dada por \(\dfrac{dy}{dt} - 2\dfrac{y}{t} = 3ty^2\)

Gabarito

D

Comentário do professor

A equação é do tipo de Bernoulli: \(\dfrac{dy}{dt}-2\frac yt=3ty^2\), com n=2. Faça a substituição \(z=y^{1-n}=y^{-1}\), logo \(y=1/z\) e \(\dfrac{dy}{dt}=-z^{-2}\dfrac{dz}{dt}\).

Substituindo na equação e multiplicando por \(z^2\) obtém-se a linear em \(z\): \(-\dfrac{dz}{dt}-\dfrac{2}{t}z=3t\), ou \(\dfrac{dz}{dt}+\dfrac{2}{t}z=-3t\).

O fator integrante é \(\mu(t)=e^{\int 2/t\,dt}=t^2\). Multiplicando e reconhecendo derivada de produto: \((t^2z)'=-3t^3\).

Integre: \(t^2z=-\dfrac{3t^4}{4}+C\). Assim \(z=\dfrac{k-3t^4}{4t^2}\) com \(k=4C\).

Como \(y=1/z\), a solução geral é \(y=\dfrac{4t^2}{k-3t^4}\), onde \(k\) é constante.