A relação R sobre \(\mathbb{Z}\) definida por \(\forall\,x\,y\,\in \mathbb{Z}\,x\,R\,y\), se e somente se, x \(\le\) y é uma relação de ordem, pois cumpre as seguintes propriedades

Gabarito

B

Comentário do professor

Considere a relação \(R\) em \(\mathbb{Z}\) definida por \(xRy \iff x\le y\). Ela é uma relação de ordem porque satisfaz as três propriedades a seguir.

Reflexividade: para todo \(x\in\mathbb{Z}\) vale \(x\le x\), logo \(xRx\).

Antissimetria: se \(x\le y\) e \(y\le x\) então, necessariamente, \(x=y\). Assim, não há pares distintos relacionados em ambas as direções.

Transitividade: se \(x\le y\) e \(y\le z\), então \(x\le z\). Portanto, a relação preserva a ordem ao compor pares relacionados.

Como as três condições valem para todos os inteiros, \(x\le y\) é de fato uma relação de ordem em \(\mathbb{Z}\).