Questão FC262165
Considere as seguintes afirmativas abaixo: I. Seja \(f\) uma função derivável em \(p\). Assim,\(f'(p)\) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de \(f\), no ponto de ab
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
IDECAN · 2021
Considere as seguintes afirmativas abaixo:
I. Seja \(f\) uma função derivável em \(p\). Assim,\(f'(p)\) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de \(f\), no ponto de abscissa \(p\).
II. \(y-f(p) = f'(p)(x-p)\) é a equação da reta tangente ao gráfico de \(f\), no ponto \((p,f(p))\).
III. Se \(f(x) = arcsen(x)\), então \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), com \(-1 < x < 1\).
Assinale
- se somente a afirmativa I estiver correta.
- se somente a afirmativa III estiver correta.
- se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
- se todas as afirmativas estiverem corretas
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Gabarito
D
Comentário do professor
As três afirmativas estão corretas porque se apoiam nas propriedades fundamentais da derivada.
Derivada: por definição, \(f'(p)=\lim_{h\to0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}\), que é exatamente o coeficiente angular da reta que melhor aproxima o gráfico de \(f\) em \(p\).
Equação da reta tangente: usando a forma ponto-coeficiente, a reta que passa por \((p,f(p))\) com coeficiente \(f'(p)\) tem equação \(y-f(p)=f'(p)(x-p)\).
Derivada de \(arcsen\): se \(y=\arcsin x\) então \(\sin y=x\). Diferenciando: \(\cos y\cdot y'=1\), logo \(y'=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), válido para \(-1
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