Determine o resultado do seguinte limite e assinale a alternativa correta: \(L = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{tg(4x)}{sen(5x)}\)

Gabarito

B

Comentário do professor

Ao substituir \(x=0\) obtemos \(\dfrac{\tan(0)}{\sin(0)}=\dfrac{0}{0}\), uma indeterminação.

Aplicamos a Regra de L'Hôpital, que permite trocar o quociente pelas derivadas do numerador e do denominador.

As derivadas são: \(\dfrac{d}{dx}\tan(4x)=4\sec^2(4x)\) e \(\dfrac{d}{dx}\sin(5x)=5\cos(5x)\).

Logo \(L=\lim_{x\to0}\dfrac{\tan(4x)}{\sin(5x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{4\sec^2(4x)}{5\cos(5x)}\).

Avaliando em \(x=0\): \(\sec^2(0)=1\) (pois \(\cos0=1\)) e \(\cos(0)=1\), então \(L=\dfrac{4\cdot1}{5\cdot1}=\dfrac{4}{5}\).