Num sistema cartesiano ortogonal Oxy, sejam r e s as retas que passam pelo ponto \(A = (1, -2)\) e são tangentes a cônica \(\lambda: y = x^2\). Se B e C são, respectivamente, os po

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para encontrar as retas tangentes à parábola \(y=x^2\) que passam por \(A=(1,-2)\), parametrize o ponto de tangência por \(t\). A equação da tangente em \((t,t^2)\) é \(y-t^2=2t(x-t)\).

Impondo que essa reta passe por \(A\): \(-2-t^2=2t(1-t)\). Simplificando obtém-se \(t^2-2t-2=0\), logo \(t=1\pm\sqrt3\). Assim os pontos de tangência são \(B=(1+\sqrt3,\,4+2\sqrt3)\) e \(C=(1-\sqrt3,\,4-2\sqrt3)\).

Use vetores \(\overrightarrow{AB}=(\sqrt3,\,6+2\sqrt3)\) e \(\overrightarrow{AC}=(-\sqrt3,\,6-2\sqrt3)\). O módulo do produto vetorial 2D é \(|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=|\sqrt3(6-2\sqrt3)-(-\sqrt3)(6+2\sqrt3)|=12\sqrt3\).

Portanto, a área do triângulo é \( \tfrac{1}{2}\cdot12\sqrt3=6\sqrt3\), confirmando a resposta correta.