Num sistema cartesiano ortogonal Oxy, o ponto (0,6) é o ponto de inflexão do gráfico da função \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx +c\). Sabendo-se que essa função admite um valor mínimo loca

Gabarito

B

Comentário do professor

Temos \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\), então \(f'(x)=3x^2+2ax+b\) e \(f''(x)=6x+2a\).

Como \((0,6)\) pertence ao gráfico, segue \(c=6\). Além disso, sendo esse ponto um ponto de inflexão, temos \(f''(0)=0\), logo \(2a=0\) e portanto \(a=0\).

Para o mínimo local em \(x=\sqrt{\tfrac{7}{3}}\) exige-se \(f'\!\left(\sqrt{\tfrac{7}{3}}\right)=0\). Substituindo \(a=0\): \(3\left(\sqrt{\tfrac{7}{3}}\right)^2+b=0\Rightarrow 7+b=0\), então \(b=-7\).

Assim \(a+b+c=0+(-7)+6=\)\(-1\), confirmando a alternativa correta.