Seja a série \(s_n = \sum^n_{i = 1} { \large 3i - 2 \over 3^i}\). Dado \(S = lim_{n \to \infty}s_n\), é correto afirmar que:]

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Separe a soma: \(S=\sum_{i=1}^\infty\frac{3i-2}{3^i}=\underbrace{\sum_{i=1}^\infty\frac{3i}{3^i}}_{S_1}-\underbrace{2\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{3^i}}_{S_2}.

Calcule \(S_2\): é uma PG com termo inicial \(3^{-1}\) e razão \(3^{-1}\), logo \(\sum_{i=1}^\infty3^{-i}=\dfrac{1/3}{1-1/3}=\dfrac{1}{2}\). Assim \(S_2=2\cdot\dfrac{1}{2}=1\).

Calcule \(S_1\): note \(S_1=\sum_{i=1}^\infty i\cdot3^{1-i}=\sum_{i=1}^\infty i\left(\tfrac{1}{3}\right)^{\,i-1}\). Use a soma conhecida \(\sum_{i=1}^\infty i x^{i-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}\) para \(|x|<1\) com \(x=\tfrac{1}{3}\), obtendo \(S_1=\dfrac{1}{(1-1/3)^2}=\dfrac{9}{4}\).

Portanto \(S=S_1-S_2=\dfrac{9}{4}-1=\dfrac{5}{4}\), como afirmado.