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Questão FC262172

Uma relação \(R\) de equivalência entre elementos de um conjunto \(A\) pode ser representada por um conjunto de pares ordenados \((x,y)\) onde \(x, y ∈ A\) e \(xRy\). Considerando

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

IDECAN · 2021

Uma relação \(R\) de equivalência entre elementos de um conjunto \(A\) pode ser representada por um conjunto de pares ordenados \((x,y)\) onde \(x, y ∈ A\) e \(xRy\). Considerando \(A = \{a, b, c\}\) e  o conjunto quociente \({ \large A \over R } = \{\{a,b\}, \{c\}\}\), uma tal relação \(R\) pode ser representada por:

  1. {(a,b), (b,c), (c,c)}
  2. {(a, a), (b,b), (a,b), (b,a), (c,c)}
  3. {(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (a,c), (b,a), (b,c)}
  4. {(a,b), (b,a), (b,c), (c,b), (a,c), (c,a)}
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Gabarito

B

Comentário do professor

A relação apresentada é \(R=\{(a,a),(b,b),(a,b),(b,a),(c,c)\}\). Esta descrição corresponde exatamente às classes de equivalência indicadas: \(\{a,b\}\) e \(\{c\}\).

Pela reflexividade, cada elemento deve estar relacionado consigo mesmo, o que exige \((a,a),(b,b),(c,c)\).

Por serem equivalentes entre si, \(a\) e \(b\) pertencem à mesma classe, então a relação deve conter tanto \((a,b)\) quanto \((b,a)\) (pela simetria).

A transitividade já é preservada: as combinações entre \(a\) e \(b\) não geram novos pares além dos já listados, e \(c\) é isolado em sua própria classe, portanto não há pares mistos envolvendo \(c\).

Assim, a lista de pares apresentada representa corretamente a relação de equivalência cujo conjunto quociente é \(\{\{a,b\},\{c\}\}\).

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