Seja o conjunto \(A = [0,2 \pi[\) e a relação \(R\) tal que \(xRy ⇔ cos (x) = cos (y)\) , \(∀ x, y ∈ A\). Definindo-se por [x], uma classe de \(R\) relativa ao elemento \(x\), marq

Gabarito

D

Comentário do professor

A relação é de equivalência porque satisfaz: reflexividade — \( \cos(x)=\cos(x)\) para todo \(x\); simetria — se \(\cos(x)=\cos(y)\) então \(\cos(y)=\cos(x)\); transitividade — se \(\cos(x)=\cos(y)\) e \(\cos(y)=\cos(z)\) então \(\cos(x)=\cos(z)\).

As classes são determinadas pelas soluções de \(\cos(y)=\cos(x)\) no intervalo \(A=[0,2\pi[\). Usando a paridade e periodicidade de \(\cos\), obtemos: para \(x=0\) e \(x=\pi\), \([x]=\{x\}\); para \(x\in(0,\pi)\), \([x]=\{x,\,2\pi-x\}\).

Logo, tomando como representantes todos os \(x\in[0,\pi]\) cobrimos todas as classes: qualquer \(y\in A\) ou já pertence a \([y]\) com \(y\in[0,\pi]\), ou, se \(y\in(\pi,2\pi)\), coloque \(x=2\pi-y\in(0,\pi)\) e então \(y\in[x]\). Assim \(A=\bigcup_{x\in[0,\pi]}[x]\).