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Questão FC262174

Seja \(ln(x)\) o logaritmo natural de \(x\), ou seja, a base é o número irracional conhecido como número de Euler e simbolizado por \(e\). Dentre as opções a seguir, marque a única

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

IDECAN · 2021

Seja \(ln(x)\) o logaritmo natural de \(x\), ou seja, a base é o número irracional conhecido como número de Euler e simbolizado por \(e\). Dentre as opções a seguir, marque a única que apresenta o menor intervalo de números reais, que contém todos os possíveis valores de \(a\) para os quais \(a - { \large In(3x) \over x} = 0\).

  1. \(\left [0, { \large 3 \over e}\right ]\)
  2. \(\left [{ \large 3 \over e}, 3e \right ]\)
  3. \(\left[ 0, 3e \right]\)
  4. \(\left ] - \infty, { \large 3 \over e}\right]\)
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Gabarito

D

Comentário do professor

Considere a função \(g(x)=\dfrac{\ln(3x)}{x}\) com \(x>0\). Procuramos todos os \(a\) para os quais existe \(x>0\) tal que \(a=g(x)\), isto é, o intervalo imagem de \(g\).

Derivando, \(g'(x)=\dfrac{1-\ln(3x)}{x^2}\). Igualando a zero obtemos \(\ln(3x)=1\), logo \(x=\dfrac{e}{3}\). Como \(g'(x)>0\) para \(xe/3\), esse ponto é um máximo global.

O valor máximo é \(g\!\left(\dfrac{e}{3}\right)=\dfrac{\ln e}{e/3}=\dfrac{3}{e}\). Além disso, \(\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty\) e \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\), portanto a imagem de \(g\) é \(\left]-\infty,\dfrac{3}{e}\right]\).

Logo, todos os valores \(a\) possíveis são exatamente os de \(\left]-\infty,\dfrac{3}{e}\right]\).

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