A função \(y(x) = 1/(1+x^2)\) é responsável pela construção da curva abaixo em formato de sino. Calcule o valor do par ordenado da reta tangente que toca o eixo x na parte negativa

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Função: considere \(y(x)=\frac{1}{1+x^2}\). No ponto \(x=-1\) temos \(y(-1)=\frac{1}{1+1}=\tfrac{1}{2}\); esse é o ponto de tangência no lado negativo do eixo \(x\).

Derivada: \(y'(x)=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}\). Avaliando em \(x=-1\) obtém-se \(y'(-1)=\tfrac{1}{2}\), que é o coeficiente angular da reta tangente.

Equação da reta: \(y=\tfrac{1}{2}x+b\). Como passa por \((-1,\tfrac{1}{2})\), substituindo: \(\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}(-1)+b\Rightarrow b=1\). Assim \(y=\tfrac{1}{2}x+1\).

Interseção com o eixo \(x\): impondo \(y=0\) temos \(0=\tfrac{1}{2}x+1\Rightarrow x=-2\). Portanto o ponto pedido é \((-2,0)\).