Dado um \(𝜆\), suponha que o mesmo é autovalor de A invertível e que \(𝜇\) é autovalor de B com mesmo autovetor \(𝑢⃗\) . Calcule o autovalor associado ao autovetor \(𝑢⃗\) de \(𝐴^2\

Gabarito

A

Comentário do professor

Partindo da hipótese, se autovetor \( \vec u\) corresponde ao autovalor \(\lambda\) de \(A\), então \(A\vec u=\lambda\vec u\).

Multiplicando ambos os lados por \(A\) obtemos \(A(A\vec u)=A(\lambda\vec u)\).

Logo \(A^2\vec u=\lambda\,A\vec u\).

Substituindo \(A\vec u=\lambda\vec u\) vem \(A^2\vec u=\lambda(\lambda\vec u)=\lambda^2\vec u\).

Portanto, \(\vec u\) continua sendo autovetor de \(A^2\) e o correspondente autovalor é \(\lambda^2\).
De modo geral, aplicar o polinômio \(p(x)=x^2\) a \(A\) transforma cada autovalor \(\lambda\) em \(p(\lambda)=\lambda^2\).